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數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)
總結(jié)是對過去一定時期的工作、學(xué)習(xí)或思想情況進行回顧、分析，并做出客觀評價的書面材料，它能夠給人努力工作的動力，讓我們好好寫一份總結(jié)吧。那么總結(jié)有什么格式呢？下面是小編精心整理的數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)，僅供參考，歡迎大家閱讀。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)1
數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個重要的標志。人類從識別事物多寡的原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個緩慢漸進的過程。
第一次擴充：分數(shù)的引進；第二次擴充：0的引進；第三次擴充：負數(shù)的引進；第四次擴充：無理數(shù)的引進；第五次擴充：復(fù)數(shù)的引進。
從原有數(shù)集擴充到新數(shù)集所遵循的原則：原數(shù)集是擴充后新數(shù)集的真子集；原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運算在新數(shù)集中同樣地被定義；原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運算結(jié)果與在原數(shù)集中的運算結(jié)果一致，且基本運算律保持；在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數(shù)集中能夠施行；新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。擴充方法：一種是把新引進的數(shù)加到已建立的數(shù)系中而擴充。另一種是從理論上創(chuàng)造一個集合，即通過定義等價類來建立新數(shù)系，然后指出新數(shù)系的一個部分集合與以前數(shù)，一種新的數(shù)，也就實現(xiàn)了數(shù)系的一次擴張。引入了負數(shù)，就實現(xiàn)了這個數(shù)系關(guān)于加減運算的自封閉。
有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點分別標設(shè)為0和1。正整數(shù)在0的右邊，負整數(shù)在0的左邊。對于分母q的有理數(shù)，就可以用把單位區(qū)間q等分的那些分點表示。每一個有理數(shù)都可以找到數(shù)軸上的一點與之對應(yīng)。
無理數(shù)的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴張，可以滿足數(shù)學(xué)上開方運算的需要，實現(xiàn)了實數(shù)系關(guān)于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數(shù)的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個有理數(shù)都將全部有理數(shù)分為兩類，使得第一類中每個數(shù)都小于第二類中的任一個數(shù)，這個分類的有理數(shù)可以算在兩類的任何一類中。利用這個分割法可以得到無理數(shù)的定義。
所建立的數(shù)系是同構(gòu)的。
自然數(shù)的兩大基本理論：基數(shù)理論和序數(shù)理論
基數(shù)理論當(dāng)我們把所有表示數(shù)量的符號放在一起就得到了一個集合，我們稱之為“數(shù)集”，為了度量“數(shù)集”當(dāng)中表示數(shù)量的符號個數(shù)，我們首先要定義一個概念就是“基數(shù)”。19世紀中葉，數(shù)學(xué)家康托以集合理論為基礎(chǔ)提出了自然數(shù)的基數(shù)理論。等價集合的共同特征稱為基數(shù)。對于有限集合來說，基數(shù)就是元素的個數(shù)。自然數(shù)就有有限集合A的基數(shù)叫做自然數(shù)。記作“”。當(dāng)集合是有限集時，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)。空集的基數(shù)就是0。而一切自然數(shù)組成的集合，我們稱之為自然數(shù)集，記為N。
序數(shù)理論皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，進而完全確立了數(shù)系的理論。是根據(jù)一個集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數(shù)集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來。
定義非空集合N中的元素叫做自然數(shù),如果N的元素之間有一個基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：
（1）0∈N；
（2）0不是N中任何元素的后繼元素；
（3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；
（4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；
（5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng)，它就是自然數(shù)系。
自然數(shù)0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)中是不可缺少的。
自然數(shù)系所蘊含的思想
對應(yīng)思想（可數(shù)的集合）自然數(shù)建立在對應(yīng)概念之上，而且對應(yīng)的思想也成為自然數(shù)的一個重要性質(zhì)。一一對應(yīng)關(guān)系是集合論中建立兩個集合“相等”關(guān)系的一個重要概念。（導(dǎo)致了俗稱“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現(xiàn)）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過德國弗芝克爾改進形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（ZF公理系統(tǒng)）。數(shù)位思想
位置制記數(shù)法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。
負數(shù)的數(shù)學(xué)含義至少包括如下幾個方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負
數(shù)學(xué)符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數(shù)學(xué)符號的意義在于：有了數(shù)學(xué)符號，才使得抽象的數(shù)學(xué)概念有了具體的表現(xiàn)形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數(shù)學(xué)思維能以直觀的、簡約的形式表現(xiàn)出來。
字母代表數(shù)代數(shù)，原意就是指“文字代表數(shù)”的學(xué)問。使得許多算術(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程問題求解。根本的內(nèi)涵是“未知數(shù)的符號x可以和數(shù)一樣進行四則運算。文字代表數(shù)的真正價值在于：字母能夠和數(shù)字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數(shù)、對數(shù)、三角等運算，乃至對字母進行微分、積分運算等等。
解析式數(shù)字、字母、運算符號按照一定規(guī)律有意義地結(jié)合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規(guī)律和變形規(guī)則。解析式可以區(qū)分為兩大類：一類是只含有代數(shù)運算的解析式叫代數(shù)式，沒有開方運算的代數(shù)式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運算的整式稱為單項式，否則稱為多項式。另一類是包含初等超越運算的解析式統(tǒng)稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式。
解析式的恒等變形把一個給定的解析式變換為另一個與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因為它們對一切數(shù)，代入式都相等。但是，解方程時的同解變形，不是恒等變形，。代數(shù)式數(shù)學(xué)的符號語言
代數(shù)式是在數(shù)系基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在初等代數(shù)中，所涉及的運算可分為兩大類：1代數(shù)運算2初等超越運算：指數(shù)是無理數(shù)的乘方、對數(shù)、三角、反三角運算。
定義，在一個解析式中，如果對字母只進行有限次代數(shù)運算，那么這個解析式就稱為代數(shù)式；如果對字母進行了有限次的初等超越運算，那么這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進一步分類：只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運算的代數(shù)式稱為有理式；其余的代數(shù)式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱為整式（或多項式），其余的有理式稱為分式。
“數(shù)”發(fā)展到“式”的意義導(dǎo)致了運算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數(shù)系的擴大化問題。將抽象的符號運算應(yīng)用到更一般的對象上，開辟了構(gòu)造數(shù)學(xué)的新方向，為抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數(shù)學(xué)的顯著特征。
數(shù)學(xué)符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個重要的屬性在于它的形象性。數(shù)學(xué)符號不但精確地表示數(shù)學(xué)抽象，而且是抽象內(nèi)涵的簡約形象。等式和方程
（一）方程的含義“含有未知數(shù)的等式叫方程”。這個定義簡單明了，為大家所習(xí)用。不過，這個定義有不足。“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。”把方程的核心價值提出來了，即為了尋求未知數(shù)。
判斷一個代數(shù)式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數(shù)。方程的概念一般用于兩個領(lǐng)域：“求某個未知數(shù)的數(shù)”和“曲線與方程”在這兩個領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個數(shù)（或解集的大小）與方程的存在域的大小有直接關(guān)系。
方程的分類依照方程解的個數(shù)分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個解、有無窮多個解和全體實數(shù)解等。方程按照它所含有的未知數(shù)的個數(shù)來分類：集。兩個不等式的解集相同，則稱這兩個不等式是同解的。
不等式有三個基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實際應(yīng)用在運動變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應(yīng)用。不等式蘊含的思想
（一）模型思想與相等現(xiàn)象相比，不等現(xiàn)象是現(xiàn)實世界中更為普遍的現(xiàn)象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。
方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達形式，形成了方程的基本思想。
方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀規(guī)律都表現(xiàn)為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來往往就是一個方程式。初中方程的教學(xué)不能過分地停留在數(shù)學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活密不可分的聯(lián)系。體會方程是一種用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實生活中的特定關(guān)系的過程。必須學(xué)會抽象將關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)符號。
方程設(shè)計思想的思路先進行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。
初中數(shù)學(xué)方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。
等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數(shù)字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式
學(xué)習(xí)的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規(guī)律。其次，研究不等式可以導(dǎo)致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個區(qū)域。
不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨立的，也是相互統(tǒng)一的。不等關(guān)系往往可以等價地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系加以解決。
不等式的含義兩個實數(shù)或代數(shù)式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實數(shù)代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內(nèi)的實數(shù)代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實數(shù)值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當(dāng)不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式時，稱為代數(shù)不等式；兩邊的解析式至少有一個是超越式時，稱為超越不等式。不等式解集表示方法
不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個不等式解集的交集叫做不等式組的解集。
一個不等式的解集表示方法1數(shù)軸表示法即在數(shù)軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區(qū)間表示法即用區(qū)間來表示不等式的解
刻畫不等現(xiàn)象的有力模型。通過分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實際問題時，要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當(dāng)?shù)剡\用這種思想可以輕松地化解相當(dāng)多的問題。（三）數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意可列出不等式組，運用數(shù)軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。
1755年，歐拉首次給出了函數(shù)變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面的變量變化時，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數(shù)。”由此演變?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的每一個值與之對應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)。”。1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進而定義函數(shù)：
1）對
中每一個元素
，存在
，使
；
（2）若且，則。函數(shù)記作：”分別稱以上函數(shù)定義為變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說。函數(shù)概念的核心思想
數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。其中有三點是重要的，一是變量的取值是實數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號表示函數(shù)。函數(shù)的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。
解析式是最常用的方法，適用于表示連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但對初學(xué)者來說也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數(shù)可因題而議。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的函數(shù)性質(zhì)
數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數(shù)的周期性，也涉及
奇偶性；在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。（一）函數(shù)的周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的一個基本的性質(zhì)。周期函數(shù)是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型，使我們集中研究函數(shù)在一個周期里的變化，了解函數(shù)在整個定義域內(nèi)的變化情況。
（二）函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性也是我們在中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應(yīng)了函數(shù)圖形的對稱性質(zhì)，可以幫助我們用對稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。
（三）函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是討論函數(shù)“變化”的一個最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律。函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系
（一）函數(shù)與方程用函數(shù)的觀點看待方程可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展
笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現(xiàn)了點與數(shù)對的對應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了。現(xiàn)代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展
人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數(shù)學(xué)課程中的幾何學(xué)內(nèi)容
（一）直觀幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維。“形象思維”也就是強調(diào)幾何直觀。
（二）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，標，即零點的橫坐標。方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖形與x軸的交點問題。
（二）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負的正整數(shù)集，有時也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。
（三）函數(shù)與不等式我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。
（四）函數(shù)與線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點看，首先，要確定目標函數(shù)，用目標函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標函數(shù)的可行域。最后，討論目標函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題。
解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標函數(shù)；第二步，確定目標函數(shù)的可行域；第三步，確定目標函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。函數(shù)模型
函數(shù)是對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎(chǔ)，具有良好的普適性和代表意義。現(xiàn)實生活中，普遍存在著最優(yōu)化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)建模的思想進行解決。在運用一次函數(shù)知識和方法建模解決時，有時要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。
在實際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習(xí)的函數(shù)在現(xiàn)實生活中有豐富的“原型”之外，還應(yīng)通過實例介紹或讓學(xué)生通過運算來體驗函數(shù)模型的多樣性。
通過實例，讓學(xué)生體會、感受數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測、規(guī)劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會用數(shù)學(xué)的知識、思想方法、數(shù)學(xué)模型解決實際問題，提高運用數(shù)學(xué)的能力．要鼓勵學(xué)生收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的實例進行探索實踐．第二章圖形與幾何四個基本階段。
實驗幾何的形成和發(fā)展
人們在觀察、實踐、實驗的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗事實之間的聯(lián)系，形成了實驗幾何。理論幾何的形成和發(fā)展
柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ)。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。
以一些原始概念和公理為出發(fā)點，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數(shù)公理，但是，主要立足邏輯進行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。
（三）度量幾何對一些圖形進行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當(dāng)?shù)难由臁＃ㄋ模┳儞Q幾何也叫運動幾何。這個領(lǐng)域主要討論平移、旋轉(zhuǎn)、反射等剛體運動，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。
經(jīng)驗幾何所謂經(jīng)驗幾何，通常是直觀幾何、實驗幾何的通稱，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動經(jīng)驗的積累，以及幾何直覺的發(fā)展。經(jīng)驗幾何的作用
幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結(jié)構(gòu)、圖形關(guān)系的學(xué)科。
（一）經(jīng)驗幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經(jīng)驗幾何是學(xué)習(xí)推理論證幾何的必要前提。
學(xué)習(xí)的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學(xué)習(xí)，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺性的了解、操作性的了解，進而形成幾何推理。
另一方面，我們用來作為推理基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)，一部分是利用實驗歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進行“推論”而導(dǎo)出的結(jié)果。
（三）實驗幾何是幾何學(xué)習(xí)的一個階段和一種認知水平，更是一種幾何學(xué)習(xí)方法。總之，實驗幾何作為幾何學(xué)習(xí)的一個階段，在學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的銜接作用；同時，實驗幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學(xué)習(xí)的一種有益于發(fā)現(xiàn)真理、幾何直觀幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學(xué)對象為基礎(chǔ)進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。
幾何直觀及其作用《數(shù)學(xué)課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述
和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。
幾何直觀對于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展非常重要：
首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)ВS著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計算機圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。
其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎(chǔ),有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。
借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積
物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小，對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數(shù)”標志它的大小，稱這個數(shù)為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規(guī)定為1平方米。
于是，對于邊長為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1米的正方形，進而，這個矩形就由ab個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab平方米（整數(shù)）。如果矩形的邊長A，B是無理數(shù)，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數(shù)逼近無理數(shù)，an→A,bn→B。依據(jù)anbn→AB，以及有理數(shù)邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。
這個過程實際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機會，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。
最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。
直觀幾何主要包含哪些內(nèi)容
以大量豐富的實例為背景，通過觀察、操作來探索認識基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規(guī)作圖、視圖和投影等。這些內(nèi)容構(gòu)成直觀幾何的重要組成部分。經(jīng)驗幾何的具體研究內(nèi)容
初中幾何的主要課程教學(xué)目標在于，“積累幾何活動經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，進一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀、積累幾何活動經(jīng)驗、培養(yǎng)空間觀念，則是經(jīng)驗幾何的核心目標。按照初中階段的經(jīng)驗幾何認識過程的不同，通常可以將經(jīng)驗幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分成認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換、在運動與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點。
長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數(shù)。1960年以后，用激光定義“米”。
目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權(quán)度大會重新把國際標準制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內(nèi)在真空中所走的長度，稱為“米”。
如果可以用一個線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數(shù)倍，我們稱兩個線段M，N是可公度的。
輾轉(zhuǎn)相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個線段減去短的那個線段，如此輾轉(zhuǎn)截取，直到兩個線段一樣長，這個長度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，發(fā)現(xiàn)正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度。”
比”。
海倫-秦九韶公式
劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明。將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個相等的圓，把它們等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個鋸齒形互相嵌入即成一個近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。
（1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內(nèi)，如果被度量的幾何體恰好被a個正方體填滿，那么這個幾何體的體積就等于幾個單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關(guān)公式計算出這個幾何體的體積。“面積公理”與測度公理
既然圖形是一個集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數(shù)。這個集合函數(shù)顯然是非負函數(shù)，而且正方形的面積是1。當(dāng)然，兩個不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過移動、旋轉(zhuǎn)、反射，其面積應(yīng)該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內(nèi)容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實上，這個結(jié)論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節(jié)變換幾何
變換就是一個集合到另一個集合的映射。幾何變換、變換群的概念
幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學(xué)的研究有重要作用。
變換群。實際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個群，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應(yīng)幾何學(xué)的主要內(nèi)容。
在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。
全等變換
如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內(nèi)存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個全等的圖形上每兩個對應(yīng)三角形有相反的方向，并且每兩個對應(yīng)的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應(yīng)三角形有同一的方向,每對對應(yīng)角有同一方向。反演變換
在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個異于O點的點P，將其變從認知規(guī)律看，幾何學(xué)習(xí)的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認→演繹推理→度量計算。
歐幾里得與演繹幾何
公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。
希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴謹，對于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進行處理的利弊得失
《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點P/，且使OP/OP=R，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點變成圓外的點,位于圓外的點變成圓內(nèi)的點，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變。空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉(zhuǎn)，反射平移、旋轉(zhuǎn)與反射的初步描述
圖形相似的思想方法體現(xiàn)在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結(jié)為如下五個方面：
（1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現(xiàn)出化歸思想
（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。
（3）結(jié)構(gòu)相同，即“同構(gòu)”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。
（4）圖形相似提供了認識三角形的另一個途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構(gòu)成元素的認識。
（5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系
（一）平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換是全等變換
（二）平移、旋轉(zhuǎn)都可以由若干次反射（軸對稱）的復(fù)合而得到。
對于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現(xiàn)，其中，軸對稱（變換）更為基本。
（1）對同一個圖形連續(xù)進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次平移；
（2）對同一個圖形連續(xù)進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對稱軸的交點。反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來完成。
（3）任意一個合同變換至多可表示為三個反射的乘積。第五節(jié)演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們?yōu)橹鴥A倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個主要因素。科學(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已。科學(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗同試驗進行結(jié)合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理。可以肯定地說，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方。或許，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。
歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學(xué)原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來沒有出現(xiàn)一個可以同歐幾里得對應(yīng)的中國數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。
如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經(jīng)認識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家。”由此可見，《原本》一書對人類科學(xué)思維的影響是何等巨大。
從數(shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認為難學(xué)的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的焦點。《原本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部內(nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點。其中，最為激進的，如法國布爾巴基學(xué)派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因為，歐氏幾何從數(shù)學(xué)的視角，提供了現(xiàn)實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳婵臻g，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個模型的.基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識。它比三種幾何的關(guān)系
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。
義務(wù)教育階段幾何課程內(nèi)容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的特點簡析義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的特點與以往的綜合幾何課程設(shè)計風(fēng)格相比，《數(shù)學(xué)課程標準》下的幾何已經(jīng)將直觀幾何和實驗幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級，同時歐氏幾何的體系和內(nèi)容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現(xiàn)在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習(xí)，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。
盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習(xí)價值，但在以往的教學(xué)中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如，內(nèi)容體系比較封閉，脫離實際，教學(xué)代價太大等等。①這些問題需要數(shù)學(xué)課程的設(shè)計者與數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進。首先是內(nèi)容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。
從國際上數(shù)學(xué)課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀60年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何，成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應(yīng)思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學(xué)觀點和更新的研究視野。
對第五公設(shè)是否獨立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。
非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何
家羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨立無關(guān)的。黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學(xué)中不承認平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當(dāng)“改進”的球面。制，另一方面體現(xiàn)在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時，弱化了的部分也還會在高中繼續(xù)出現(xiàn)。
新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的突出特點體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調(diào)學(xué)生的直觀體驗學(xué)習(xí)的方法；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。
幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。
推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。
直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計特點與綜合幾何的差異
與綜合幾何相比，直觀幾何、實驗幾何有著更現(xiàn)實的意義和課程設(shè)計的特色：
1．不同的課程目標和價值取向
從課程設(shè)計的角度看，直觀幾何與實驗幾何更接近于認知發(fā)展取向的課程設(shè)計模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價值取向的課程設(shè)計模式。
2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎(chǔ)和不同的師生關(guān)系
以論證為主的綜合幾何課程設(shè)計，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計觀認為，有意義的幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生的主觀意愿和知識、經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，依賴學(xué)生的動手實踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應(yīng)該定位在學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習(xí)中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區(qū)文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應(yīng)該努力構(gòu)建一種和諧、互動的新關(guān)系。
3．不同的課程設(shè)計風(fēng)格
在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗型課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間。直觀幾何、實驗幾何屬于典型的經(jīng)驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當(dāng)前，我國實行的義務(wù)教育課程標準實驗教科書大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛(wèi)”，而有的更靠近前者，“中規(guī)中矩”。
4．不同的教學(xué)要求
在直觀幾何、實驗幾何課程實施過程中，學(xué)生的直觀感受和幾何活動經(jīng)驗是學(xué)習(xí)的基本出發(fā)點和必不可少的載體，而且直觀教學(xué)變得十分重要。在這種課程設(shè)計時，有的是在抽象的學(xué)科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生識圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節(jié)。因而，在直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計模式下，采用直觀教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開始便進入到直觀教學(xué)所創(chuàng)設(shè)的情盡管全國初中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀與推理
能力是普遍趨勢。第三章統(tǒng)計與概率
準確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計之間的關(guān)系
（一）研究問題的出發(fā)點不同數(shù)學(xué)研究的對象是從現(xiàn)實生活中抽象出來的數(shù)和圖形。數(shù)學(xué)研究問題必須有定義，即數(shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點是定義，沒有定義無法進行數(shù)學(xué)的研究。統(tǒng)計研究所依賴的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進行研究。但是，統(tǒng)計與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我們拿來數(shù)學(xué)的很多知識、思想方法作為統(tǒng)計分析的工具。
（二）研究問題的立論基礎(chǔ)不同從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號的基礎(chǔ)上的。而統(tǒng)計學(xué)是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號對于統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統(tǒng)計學(xué)在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)和模型進行推斷的。
境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現(xiàn)情景，給學(xué)生以鮮明生動的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理
新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的突出特點體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調(diào)學(xué)生的直觀體驗（幾何課與實際活動課有天然的聯(lián)系）學(xué)習(xí)的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。
初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何，但包含一點點說理，而九年級已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。
在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準下，“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。
在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。
如何理解初中幾何的核心目標發(fā)展幾何直觀與推理能力
在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。基于此，《數(shù)學(xué)課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內(nèi)容。
（三）研究問題的方法不同與概念和符號相對應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個從一般到特殊的方法，而統(tǒng)計學(xué)的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，是一個從特殊到一般的方法。
（四）研究問題的判斷原則不同數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對結(jié)果的判斷標準是對與錯，從這個意義上說，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，而統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標準是好與壞，從這個意義上說，統(tǒng)計學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。
數(shù)理統(tǒng)計方法的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型，收集整理數(shù)據(jù)，進行統(tǒng)計推斷、預(yù)測和決策。當(dāng)然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開，也不一定按上述次序，有時是互相交錯的。
（1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識、所研究問題的專業(yè)知識、以往的經(jīng)驗以及從總體中抽取的樣本。
（2）數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實驗3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個個體都加以觀測，測定所需要的指標。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標值。這方面的研究內(nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計的一個分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。
（3）安排特定實驗以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實驗要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進行分析。
（4）數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當(dāng)?shù)膱D表，如散點圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統(tǒng)計量。
（5）統(tǒng)計推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進行統(tǒng)計推斷的必要準備，統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的主要任務(wù)。
（6）統(tǒng)計預(yù)測。統(tǒng)計預(yù)測的對象，是隨機變量在未來某個時刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對該變量進行觀測時將取的值。
（7）統(tǒng)計決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計推斷或預(yù)測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統(tǒng)計與概率的課程內(nèi)容主要內(nèi)容包括：
描述統(tǒng)計的進一步擴展----描述統(tǒng)計的基本目標在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數(shù)據(jù)。
滲透數(shù)理統(tǒng)計思想----數(shù)理統(tǒng)計與描述統(tǒng)計的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數(shù)據(jù)的一個關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)概率的初步內(nèi)容-----包括運用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過實驗，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值；通過大量豐富的實例，進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際的問題。
普查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調(diào)查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個體進行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。樣本：從總體中抽取部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數(shù)量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間
在一定條件實現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱之為隨機現(xiàn)象。具備以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：
信息。眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復(fù)的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當(dāng)各個數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。數(shù)據(jù)的離散程度
極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。
樣本數(shù)據(jù)的方差和標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。加權(quán)平均數(shù)的概念
加權(quán)平均數(shù)是不同比重數(shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計算，即一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。平均數(shù)稱之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，
(1)可在相同條件下重復(fù)進行；
〔2)每次試驗可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗之前不能確定；
(3)事先知道試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。隨機事件隨機試驗的每一個可能的結(jié)果稱為一個隨機事件
樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應(yīng)的一切隨機事件。數(shù)據(jù)的收集
數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實驗。在現(xiàn)實生活中原來就有的數(shù)據(jù)，人們通過調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對部分考察對象作調(diào)查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。
數(shù)據(jù)的隨機性主要有兩層涵義：
一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；
另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)的整理和分析
數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個方面：
第一，了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊含著信息的；
第二，了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；
第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性。
理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標準差）來估計總體的集中程度和離散程度。頻數(shù)和頻率
我們稱每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱次數(shù)。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對總數(shù)據(jù)按某種標準進行分組，統(tǒng)計出各個組內(nèi)含個體的個數(shù)。而頻率則每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。數(shù)據(jù)的集中趨勢在統(tǒng)計學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點的位置所在。反映數(shù)據(jù)集中趨勢的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個數(shù)得到的值。中位數(shù)，就是將這組數(shù)據(jù)從小到達排列后，位于正中間的數(shù)（或中間兩個數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別
聯(lián)系：從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。區(qū)別：計算平均數(shù)時，所有數(shù)據(jù)都參加運算，它能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。中位數(shù)的優(yōu)點是計算簡單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時，就是算術(shù)平均數(shù)。
統(tǒng)計表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。統(tǒng)計圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)計圖示法分為單式條形圖、復(fù)式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。
直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。
扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個組成部分數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。
扇形統(tǒng)計圖具有四個特點：
一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，
二是圓代表總體，各個扇形分別表示總體中不同的部分；
三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，
四是各個扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統(tǒng)計圖中，不能簡單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小。折線統(tǒng)計圖
用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以進行簡單的預(yù)測。折線統(tǒng)計圖可分為單式折線圖或復(fù)式折線圖。統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，而概率是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律演繹的研究，在解決實際問題時，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的
隨機事件的概率，實質(zhì)上是指在客觀世界中，這個事件發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量刻畫。
概率的定義
頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率
（1）隨機性和規(guī)律性。
（2）概率和機會。從某種意義說來，概率描述了某件事
情發(fā)生的機會
（3）有些概率是無法精確推斷的。
（4）有些概率是可以估計的。隨機結(jié)果也具有規(guī)律，而且有可能通過試驗等方法來推測其規(guī)律。我們就是要通過觀測數(shù)據(jù)，在隨機性中尋找用概率和數(shù)學(xué)模型描述的規(guī)律性
小概率原理是統(tǒng)計檢驗（統(tǒng)計中的反證法）的基礎(chǔ)和依據(jù)。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生。《數(shù)學(xué)課程標準》認為，“統(tǒng)計與概率”應(yīng)當(dāng)是初中課程內(nèi)容的重要組成部分。不僅如此，《數(shù)學(xué)課程標準》將“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容從第一學(xué)段連續(xù)編排到初中，并且規(guī)定，在初中，學(xué)生將從事數(shù)據(jù)的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發(fā)生的概率。《大綱》沒有涉及“概率”內(nèi)容，僅僅在初中階段引入“統(tǒng)計初步”，并且將“統(tǒng)計初步”放入“代數(shù)的第（十三）部分”在《大綱》中，“統(tǒng)計初步”的定位是：使學(xué)生了解統(tǒng)計的展這一活動，有以下幾個步驟：
第一，學(xué)生觀察一件物體或一種現(xiàn)象，或者操作某些學(xué)具。
第二，學(xué)生在研究所觀察的物體或現(xiàn)象的過程中進行思考，與同伴進行討論和交流，以彌補他們在單純的觀察和操作活動中的不足。
第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動，學(xué)生可從中作出選擇并實施這些活動，學(xué)生在選擇中有較強的自主性。
第四，這一活動可以以課內(nèi)外相結(jié)合的形式進行，學(xué)生每周至少花兩個小時進行同一個主題的活動，并應(yīng)保證這些活動在整個學(xué)習(xí)進程中的持續(xù)性和穩(wěn)定性。
第五，每個學(xué)生都記錄活動過程。通過這一活動，學(xué)生逐漸學(xué)會操作，同時加強和鞏固口頭和書面表達能力，發(fā)展解決問題的能力，增進對數(shù)學(xué)的理解力。如何理解數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)
思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計的初步知識解決一些簡單的實際問題。簡單的平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)
所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個數(shù)據(jù)的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權(quán)重”表示，即加上各個數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中占有的比例（頻率）再作和。數(shù)學(xué)期望的定義事前預(yù)期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實踐與綜合
設(shè)置“實踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現(xiàn)其橋梁作用（即，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數(shù)學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價值，綜合運用數(shù)學(xué)知識、技能、思想、方法等解決現(xiàn)實問題，幫助學(xué)生積累直接的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實踐與綜合”的教育價值和課程目標
教育價值實踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現(xiàn)實世界中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題也必將給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運用數(shù)學(xué)進行思考和交流的能力。
課程目標《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》對這個領(lǐng)域的課程設(shè)計提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力，加深對“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系。“實踐與綜合”在不同階段不同的呈現(xiàn)形式第一學(xué)段以“實踐活動”為主題，第二學(xué)段以“綜合應(yīng)用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習(xí)”為主題。
在初中數(shù)學(xué)中，課題學(xué)習(xí)的主要形式有三種基本方式：
數(shù)學(xué)小調(diào)查。數(shù)學(xué)小調(diào)查是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從學(xué)習(xí)生活和社會生活中選擇和確定調(diào)查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習(xí)活動。數(shù)學(xué)調(diào)查可以包括三個階段，第一，進入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點。
小課題研究。活動基本過程如下：各小組確定活動目標；根據(jù)目標確定本組活動內(nèi)容；在老師指導(dǎo)下實際調(diào)查。合作交流。
動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習(xí)知識，尤其強調(diào)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng)。基本過程是：提出問題動手做實驗觀察記錄解釋討論得出結(jié)論表達陳述。具體地說，開
數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主要針對我國中學(xué)教育中出現(xiàn)的若干弊端，為實施以創(chuàng)新精神和實踐能力為重點的素質(zhì)教育而提出來的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗和正確認識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習(xí)的重點在“學(xué)習(xí)”，研究是手段、途徑，而不是目的。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵
以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和實踐能力為目的，它主要通過與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的課題，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生為主體地參與、體驗問題提出和解決的全過程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)科學(xué)研究的基本過程和方法，提高學(xué)生的科數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的目的
1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗。
2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。
3.學(xué)會與人溝通和合作，學(xué)會分享。合作的意識和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習(xí)提供了一個有利于人際溝通與合作的良好空間。
4.增強探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學(xué)生必須學(xué)會從實際出發(fā)，通過認真踏實地探究，事實求是地得出結(jié)論，并且養(yǎng)成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時培養(yǎng)不斷追求的進取精神、嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。
5.培養(yǎng)學(xué)生對社會的責(zé)任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。
6.促進學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握和運用一種現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式。
7.激活各科學(xué)習(xí)中的知識儲備，嘗試相關(guān)知識的綜合運用。8.促進教師教學(xué)觀念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力，推進素質(zhì)教育的全面實施。
初中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主題分為建模探究型、圖表探究型、調(diào)查探究型、開放探究型四種類型。
（1）建模探究型：以學(xué)生動手操作、合作探討、設(shè)計制作模型為主，教師給予指導(dǎo)、總結(jié)、評價。
（2）圖表探究型：以學(xué)生觀察、分析數(shù)學(xué)圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結(jié)合相關(guān)知識分析、探究、解決問題。例如，數(shù)學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。
（3）開放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數(shù)學(xué)問題：猜想、證明、拓廣。
（4）調(diào)查探究型：以學(xué)生調(diào)查實踐、自主分析、探究實踐的方式和方法為主，教師適時引導(dǎo)、提示、總結(jié)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的特點
1.探究性。探究是人類認識世界的一種基本方式，處于基礎(chǔ)教育階段的初中生對外部
世界仍充滿強烈的新奇感和探究欲，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)正好適應(yīng)學(xué)習(xí)者個體發(fā)展的需要和認識規(guī)律。
2.全員參與性。研究性學(xué)習(xí)主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養(yǎng)天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習(xí)的組織形式是獨立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的結(jié)合，其中合作學(xué)習(xí)占有重要的地位。
3.開放性。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是一種開放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數(shù)學(xué)問題或從數(shù)學(xué)角度對其它學(xué)科中出現(xiàn)的問題進行研究。
4.過程性。要求學(xué)生把自己所得出的結(jié)論運用到現(xiàn)實生活中去，解決現(xiàn)實生活中涉及到的數(shù)學(xué)問題，強調(diào)學(xué)生參與的過程。
5.應(yīng)用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習(xí)的又一基本特征。研究性學(xué)習(xí)重在知識技能的應(yīng)用，而不在于掌握知識的量。
6.體驗性。研究性學(xué)習(xí)不僅重視學(xué)習(xí)過程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學(xué)習(xí)的體驗。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實施保持和進一步提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。
（3）在實施過程中，要采取有效的手段對學(xué)習(xí)活動進行監(jiān)控；指導(dǎo)學(xué)生寫好研究數(shù)學(xué)日記，及時記載研究情況，真實記錄個體體驗，為以后進行和評價提供依據(jù)。
（4）要爭取家長和社會有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開發(fā)對實施研究性學(xué)習(xí)有價值的校內(nèi)外教育資源，為學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)提供良好條件。
（5）能夠根據(jù)學(xué)校與班級實施研究性學(xué)習(xí)的不同目標定位和主客觀條件，在不同時段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點。
數(shù)學(xué)模型一般是指由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實對象(原型)數(shù)量規(guī)律和空間特征的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型可以敘述為：對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了實施要求：
①全員參與，而非只關(guān)注少數(shù)數(shù)學(xué)尖子學(xué)生競爭，給每個學(xué)生有鍛煉與參與的機會；
②任務(wù)驅(qū)動。要向?qū)W生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的引導(dǎo)作用；
③重在學(xué)習(xí)過程而非研究的結(jié)果；
④重在知識技能的應(yīng)用而非掌握知識的數(shù)量；
⑤重在親身參與探索性實踐活動，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗；
⑥形式上靈活多樣，強調(diào)課內(nèi)外結(jié)合。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)模式有三種：
（1）理論實踐模式。是指師生在共同學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)生運用數(shù)學(xué)理論來研究、解決數(shù)學(xué)問題，體驗研究性學(xué)習(xí)課程理論的價值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。
（2）數(shù)學(xué)問題探討模式。師生圍繞數(shù)學(xué)問題的分析與探討展開的教學(xué)活動，構(gòu)成了問題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵、強化學(xué)生在教學(xué)過程中的主體參與意識為著眼點，以幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會發(fā)現(xiàn)和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力為宗旨，創(chuàng)設(shè)一種開放而又活潑的學(xué)習(xí)氛圍。其教學(xué)策略是：將問題或案例呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生共同探討，構(gòu)建師生平等、互動的學(xué)習(xí)環(huán)境。
一般來說，教師要選擇典型的數(shù)學(xué)問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要創(chuàng)造性地加以取舍，主動設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力。
（3）數(shù)學(xué)課題研究模式。數(shù)學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據(jù)興趣設(shè)計研究課題，并在教師的指導(dǎo)下自主探索、實施研究計劃、完成課題目標、提高社會實踐能力的一種教學(xué)模式。
組織形式有三種類型：小組合作研究、個人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施的一般程序
一般可以分為三個階段：
（1）進入問題情境階段（準備階段）。主要任務(wù)是背景知識的準備；指導(dǎo)學(xué)生確定數(shù)學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。
（2）實踐體驗階段（實施階段）。本階段學(xué)生要進入具體的解決問題過程。
（3）表達交流階段（結(jié)題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過實踐、體驗所取得的收獲進行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面或口頭報告材料，得出結(jié)論，并進行成果交流和總結(jié)反思。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施中的教師指導(dǎo)
（1）在初中不同的學(xué)段和年級，教師的指導(dǎo)工作內(nèi)容和方法應(yīng)該有所不同。
（2）在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施過程中，教師要及時了解學(xué)生開展活動的情況，有針對性地進行指導(dǎo)、點撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進學(xué)生自我教育，幫助他們
一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)后，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目
使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，增進對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，團結(jié)合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)意義
1.培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力合作能力是信息社會中每個人必須具備的基本素質(zhì)。
2.培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力數(shù)學(xué)建模活動則為學(xué)生學(xué)習(xí)如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個有效的途徑。
3.有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)建模活動的開展使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀成為可能。
4.有利于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系
5.激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣
6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識數(shù)學(xué)建模的具體實施1.選題
鼓勵學(xué)生自主提出問題，可以從以下幾個方面人手：
①讓學(xué)生了解選題的重要性和基本要求，
②指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點評，或者請本班同學(xué)介紹自己的選題計劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，
③教師創(chuàng)設(shè)一個問題環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題、確定課題。這時教師的指導(dǎo)應(yīng)該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開拓問題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。
2.實施
在課題學(xué)習(xí)的實施中，我們強調(diào)開放學(xué)生的思維，強化過程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。
3.指導(dǎo)
在課題學(xué)習(xí)中，教師如何指導(dǎo)學(xué)生，這是一個令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學(xué)習(xí)過程中，問題形式與內(nèi)容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結(jié)果呈現(xiàn)層次的豐富性，無疑是對參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的、常常出現(xiàn)的。
4.評價
評價過程具體涉及以下幾個方面：
①調(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡捷；
②要有自己獨到的思考和發(fā)現(xiàn)；
③能夠恰當(dāng)?shù)厥褂霉ぞ?如網(wǎng)絡(luò)和計算工具)；
④采用合理、簡捷的算法；
⑤提出有價值的求解設(shè)計和有見地的新問題；
⑥發(fā)揮每個組員的特長，合作學(xué)習(xí)得有效果。5.建立和擴張資源
對教育資源的認識應(yīng)該走出靜態(tài)的誤區(qū)，要看到身邊許多動態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現(xiàn)大批的可用資源。我們還應(yīng)有意識地建立自己個性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個特定的數(shù)學(xué)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關(guān)系；這些關(guān)系稱之為數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、公理化。簡明化數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數(shù)學(xué)符號語言，使得一定事物的本質(zhì)簡明的形式表現(xiàn)出來，這種簡明化使人們在較短時間內(nèi)領(lǐng)會。概念的外延與內(nèi)涵
概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。
一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵是說一個概念所反映的事物培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力
實際教學(xué)中要強調(diào)學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實踐等學(xué)習(xí)方式。
（1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習(xí)過程中，教師可以向?qū)W生推薦活動，讓學(xué)生在選擇中有較強的自主性；同時，讓學(xué)生獨立思考和合作交流，在此基礎(chǔ)上教師進行有針對性的指導(dǎo)。
（2）強凋?qū)W生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。課題學(xué)習(xí)活動強調(diào)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，不宜強調(diào)對知識的學(xué)習(xí)，而且更重要的是強調(diào)學(xué)生對學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成。
（3）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情景，鼓勵學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習(xí)活動過程中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵與尊重學(xué)生的獨立思考，引導(dǎo)學(xué)生進行討論與交流，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維是十分必要的。
（4）對課題學(xué)習(xí)的評價應(yīng)該以質(zhì)的評價為主。一般說來，對學(xué)生實踐與綜合應(yīng)用活動的評價要強調(diào)過程性評價。重點在于促進學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標簽。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評價對建立學(xué)生發(fā)展性評價有哪些有益的啟示
（1）研究性學(xué)習(xí)評價更重視過程。研究性學(xué)習(xí)評價學(xué)生研究成果的價值取向重點是學(xué)生的參與研究過程。
（2）研究性學(xué)習(xí)評價更重視理解中的應(yīng)用。強調(diào)的是學(xué)生把學(xué)到的基礎(chǔ)知識、掌握的基本技能，應(yīng)用到實際問題的提出和解決中去既促進學(xué)生對知識價值的反思，又加深對知識內(nèi)涵理解和掌握，形成知識的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)。3）研究性學(xué)習(xí)評價強調(diào)學(xué)生在探究過程中的體驗。
（4）研究性學(xué)習(xí)評價更重視全員參與。研究性學(xué)習(xí)的價值取向強調(diào)每個學(xué)生都有充分學(xué)習(xí)的潛能，為他們進行不同層次的研究性學(xué)習(xí)提供了可能性，也為個別化的評價方式創(chuàng)造了條件。第五章初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)
客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。
抽象化數(shù)學(xué)概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級的抽象過程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。
概念的內(nèi)涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。一個概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體．概念的內(nèi)涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是主觀對客觀的認識，由于人們對客觀事物的認識是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過程中有其相對的穩(wěn)定性．在數(shù)學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數(shù)學(xué)概念的特點
1、初中數(shù)學(xué)概念并非都是通過定義給出的
2.初中數(shù)學(xué)概念的層次性數(shù)學(xué)概念本身具有層次性。
3.數(shù)學(xué)概念是理想概念
4.數(shù)學(xué)概念是“過程”與“對象”的統(tǒng)一體數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系
1.同一關(guān)系兩個外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個概念可以互相代替。
2.交叉關(guān)系兩個外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。
3.從屬關(guān)系兩個外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關(guān)系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。
5.對立關(guān)系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。
把一個屬概念分成若干個種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數(shù)學(xué)中常用劃分把概念系統(tǒng)化。正確的劃分應(yīng)符合下列條件：
第一，所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系，即任兩個種概念的外延的交集應(yīng)是空集；第二，劃分應(yīng)是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應(yīng)按照同一個標準進行。在一次劃分中用不同的根據(jù)就造成了混亂；第四，劃分不應(yīng)越級。應(yīng)把屬概念分為最鄰近的種概念
數(shù)學(xué)概念的定義與要求
定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:
1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產(chǎn)生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。
3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時，P假；當(dāng)P假時，P真。
2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。
3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義
關(guān)于數(shù)學(xué)對象及其屬性的判斷叫做數(shù)學(xué)判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。
4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。
5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。
此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有描述性定義法(如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對象來進行定義(如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念)等等。定義數(shù)學(xué)概念的基本要求
1.定義應(yīng)當(dāng)相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念。
3.定義應(yīng)清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。
定義要揭示概念所反映對象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點。數(shù)學(xué)概念的形成
數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。
數(shù)學(xué)概念形成的過程有以下幾個階段：
1.觀察實例。
2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。
3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。
4.確認本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗假設(shè)。確認本質(zhì)屬性。
5.概括定義。在驗證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。
6.符號表示。
7.具體運用。使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。
判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數(shù)學(xué)中要進行證明。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復(fù)合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。
1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當(dāng)P如何理解命題的分類
所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項、謂項、量項和聯(lián)項四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復(fù)合命題命題真值的概念。
對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。
復(fù)合命題的分類
復(fù)合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。
否定式。給定一個命題A，用連接詞“非”組成一個復(fù)合命題“非A”，
析取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“或”組成一個復(fù)合命題“A或B”，合取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“且”組成一個復(fù)合命題“A且B”蘊含式。給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復(fù)合命題“若A則B”，記作AB
等值式。給定兩個命題A與B，用連接詞“等值”組成一個復(fù)合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理
不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數(shù)學(xué)理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。
任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。
經(jīng)過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規(guī)律
1.同一律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確
定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點具體要求：一是思維的對象應(yīng)保持同一。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。
2.矛盾律：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。
3.排中律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。
排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)2
為了更好地使用小學(xué)數(shù)學(xué)教材，我們學(xué)校數(shù)學(xué)組開展了一系列的教材培訓(xùn)活動，通過不同的方式讓教師熟悉教材的編排，根據(jù)課標要求，更好地把握教學(xué)目標，編制課程綱要和教學(xué)案。這次培訓(xùn)總結(jié)如下：
1、細化解讀后的教學(xué)目標得到進一步明確。教材不是老師上課的講稿，也不是學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)案，而是我們教學(xué)資源中最大的一種。我們不應(yīng)該根據(jù)課本教課本，而是結(jié)合課標，利用課本。所以，本次培訓(xùn)活動中，大家集思廣益，一直僅僅圍繞課標來認識教材，熟悉教材的編排。；利用教育平臺培訓(xùn)專家細致的講解讓我們更好地運用教材，落實課標。數(shù)學(xué)組成員分工合作，進行了不同年級段知識點的匯總，結(jié)合課標，明確每年級應(yīng)教什么，如何教，教到什么程度的問題。
2、從實際活動中激活教材。結(jié)合專家講解和教師們自主學(xué)習(xí)，我校數(shù)學(xué)組開展了一系列的觀課活動。從本次觀課活動中，一方面，我們看到了教師們整合教材，掌控課堂的技能；另一方面，我們更多地關(guān)注教材使用下高效課堂的生成。活用教材，我們更需要在課堂效率上有所突破，評課、議課讓新教材的運用更加立體化。
3、從反思中查看自己的不足，在探討中解惑。從培訓(xùn)中，老師們收獲很多，但是我們更關(guān)注每一位教師提出的需要解決的問題。在一次次的集體教研中，針對一個問題，大家一起想辦法，設(shè)計方案，逐個突破，為教師上好每節(jié)課“排憂解難”。
4、進一步推進了我校特色“易課堂”的實施。結(jié)合學(xué)校的核心理念，我們必須要帶著新的教師觀、學(xué)生觀、課程觀，精心去上好每節(jié)課，力求節(jié)節(jié)高效，讓高效課堂成為實施教材的一種常態(tài)。
5、推動了綠色指標評價體系中我校數(shù)學(xué)學(xué)科的實施。每一位教師的教學(xué)觀念、教學(xué)行為、教學(xué)程序、教學(xué)目標、評價方式……都會在這場潮流的沖擊下發(fā)生變化。新的.課程要求有新的評價標準，結(jié)合我校實際情況，我們把鄭州市綠色指標評價體系與我校實際情況相結(jié)合，制定出符合我校校情的評價體系。制定的評價體系更關(guān)注課堂的生成，關(guān)注學(xué)生在課堂上的生命狀態(tài)，過程性評價和終結(jié)性評價的比例得到進一步的優(yōu)化。
本次培訓(xùn)活動，所有數(shù)學(xué)教師積極參與，群策群力認真完成每天的學(xué)習(xí)任務(wù)，集體研討、交流，不斷調(diào)試本學(xué)期的課程設(shè)計，努力把所學(xué)所悟運用到課堂上，進一步提升課堂的質(zhì)量。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)3
20xx年3月17日，我有幸參加了20xx年全國新世紀小學(xué)數(shù)學(xué)第四版教材的網(wǎng)絡(luò)研修，經(jīng)過一天的學(xué)習(xí)研討，讓我受益匪淺，對我今后如何實現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化起到很好的指導(dǎo)作用。下面就根據(jù)我自己這次的培訓(xùn)學(xué)習(xí)談點心得體會。
一、通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我對新世紀小學(xué)《數(shù)學(xué)》(北師大版)第四版教材特色有了深刻的了解。
(一)精心設(shè)計“情境+問題串”的呈現(xiàn)方式，為自然而然地展開學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和教師的數(shù)學(xué)教學(xué)過程提供基礎(chǔ)環(huán)境和主要脈絡(luò)。
(二)在課程標準修訂的背景下，更加重視學(xué)習(xí)目標的整體實現(xiàn)。
1.注重基本活動經(jīng)驗和基本思想。
2.注重體現(xiàn)“從頭到尾”思考問題的過程。
3.注重在理解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)對重要數(shù)學(xué)概念的掌握和基本運算技能的`形成。
4.注重學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。
(三)情境設(shè)計更加注重題材的多樣與豐富。
教材一直關(guān)注設(shè)計有趣的、現(xiàn)實的、蘊含數(shù)學(xué)意義和富有挑戰(zhàn)性的情境，這構(gòu)成了教材的鮮明特點。同時，在情境的設(shè)計上，更加注重題材的多樣與豐富，并使情境的素材來源盡可能廣泛，富有文化內(nèi)涵，強調(diào)處理好不同題材的平衡。
(四)重新梳理和設(shè)計練習(xí)題，提供數(shù)量合適、層次合理、形成多樣的習(xí)題。
二、學(xué)會追問
北師大版教材編寫人之一王昌勝教授給我們作了幾個案例講座，其一是《一年級教材‘認識物體’》，其二是《統(tǒng)計與概率》。兩個講座給我印象最深的是用簡單的材料上出富有思考的課，體現(xiàn)“深刻”，符合學(xué)生實際生活經(jīng)驗;上課要學(xué)會追問，給學(xué)生一個操作后，老師要追問，把問題推給學(xué)生，在追問中深入，讓他們自己找出問題的答案。追問是檢驗學(xué)生是否理解所學(xué)。
三、學(xué)會處理細節(jié)
有人說“整體決定成敗，細節(jié)成就精彩。”淡化對“概念”的咬文嚼字，堅持先試后教，設(shè)置或診斷學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙;注重課堂作業(yè)的設(shè)計與反饋，要層層設(shè)計與推進;注重與生活經(jīng)驗的恰當(dāng)溝通，不要生拉硬扯，在層層追問中深入;保證學(xué)生有靜悄悄地獨立思考的時間;注重學(xué)生思考能力的提升。
通過教材的培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我認識到作為一名數(shù)學(xué)教師必須不斷更新自己的教學(xué)觀念，深入地了解自己的學(xué)生，解讀教材教法，在今后的教學(xué)中，我會結(jié)合班級的特點和學(xué)生的實際情況，引領(lǐng)學(xué)生貼近生活，走進數(shù)學(xué)，經(jīng)歷知識、能力形成的全過程。培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，享受學(xué)習(xí)、享受生活、享受校園生活的快樂。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)4
時間匆匆，在甘肅教師網(wǎng)已學(xué)習(xí)一個多月，雖然我一邊忙于平時的工作,一邊還要抽出余暇時間上網(wǎng)參與網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)的學(xué)習(xí)。在網(wǎng)上看到名師上課，作地講座，開闊我的視野，增長了我的學(xué)識，使我受益匪淺，接下來談?wù)勎业囊恍┦斋@。
第一，這次網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，使我感覺到與以往一些培訓(xùn)有很大不同，既有視頻資源的學(xué)習(xí)，又有文本資源的研習(xí)，既有比較成功 的案例展示，又有比較深刻的理論論述，也有學(xué)員之間交流。在學(xué)習(xí)的過成中，我還分享了同行們精彩的討論和回帖，有專家們在實際教學(xué)中的獨特理念和教學(xué)經(jīng)驗等等，讓我足不出戶就學(xué)到了許多教育教學(xué)新理念。
第二，這次網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，使我感覺到有一種緊迫感，我的教學(xué)思想和理念跟專家、名教師相差較遠，首先這就促使我轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，變“教師的教”為“學(xué)生的學(xué)”。新課程所倡導(dǎo)的課堂教學(xué)，不再是我教你學(xué)、我講你聽、我說你記、我讀你劃，也不是課本劇、教案劇的表演，更不是教師的`灌輸，而應(yīng)該是教師走進教材、走進學(xué)生的心靈，在教師、學(xué)生、文本三者之間的對話中，啟發(fā)學(xué)生思考，從而實現(xiàn)為學(xué)生服務(wù)的目的。所以教師更多應(yīng)該考慮“怎樣教學(xué)生才能愿意學(xué)？”、“怎樣指導(dǎo)學(xué)生才能學(xué)會？”這樣的問題。如果教師沒有轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，忽視學(xué)生學(xué)的問題，一廂情愿地“灌”，不但沒“灌”進去，結(jié)果連學(xué)習(xí)興趣也弄沒了，學(xué)生有的在發(fā)呆，有的在想心事兒，有的在……教師的付出沒有回報，好心無
人領(lǐng)會，從而導(dǎo)致教學(xué)無效。其次促使我改變備課角度，變“備教師課程”為“備學(xué)生課程”。學(xué)生學(xué)習(xí)的成效取決于學(xué)習(xí)者根據(jù)自身經(jīng)驗進行意義建構(gòu)的能力而不是取決于學(xué)生記憶和背誦教師講授內(nèi)容的能力。所以備課中教師既不能在用知識去解釋抽象的概念、原理上下功夫，也不能一味地在教師自身已有的經(jīng)驗中找素材，而應(yīng)當(dāng)在創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活實際有密切聯(lián)系的具體情境上仔細斟酌，應(yīng)該選擇與學(xué)生生活實際有密切聯(lián)系的具體情境材料。同時也引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗認識到學(xué)生的重要性，從而讓學(xué)生熱愛學(xué)習(xí)。
第三，這次網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，使我深深感到小學(xué)數(shù)學(xué)老師要想更有效地為學(xué)生傳授知識，培養(yǎng)能力。教師的視野必須開闊，不能做井底之蛙，因此，我要在日常教學(xué)之余讀一些本專業(yè)的書，還要對教心學(xué)、兒童學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域長期保持關(guān)注并且需要不斷更新相關(guān)知識，力爭提升學(xué)科素養(yǎng)，提高教學(xué)質(zhì)量，嘗試實現(xiàn)自身專業(yè)化成長。
總之，這次網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，讓我發(fā)現(xiàn)了自身的一些優(yōu)勢和存在的不足，一方面增強了自信，增強教學(xué)業(yè)務(wù)，另一方面要不斷的學(xué)習(xí)，特別重要的是能夠在與同行的交流中相互取長補短，幫助自己形成一些好的習(xí)慣，形成自己的一種有效的教學(xué)方法。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)5
7月10日，我有幸參加三到六年級數(shù)學(xué)新教材暑期培訓(xùn)。這一天培訓(xùn)內(nèi)容主要是教材修訂專家對教材的調(diào)整和變化作一些說明。
新教材主要調(diào)整和變化有以下幾個方面：
一、重新整合原來有聯(lián)系的小單元，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。
如三年級上冊重新整合乘、除數(shù)是一位數(shù)的乘、除法。第一單元是兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，例題是筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)，試一試三位數(shù)乘一位數(shù)，這樣通過對比促進計算方法的主要遷移，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)已有計算經(jīng)驗適當(dāng)總結(jié)計算方法。第四單元教學(xué)兩三位數(shù)除以一位數(shù)，整個單元內(nèi)容豐富、龐雜，由淺入深，層層遞進，合理組織教學(xué)內(nèi)容，促進計算方法的自主遷移。四年級上冊合理整合除數(shù)是兩位數(shù)除法計算的教學(xué)內(nèi)容。五年級上冊整合小數(shù)乘除法，適當(dāng)加強小數(shù)四則混合運算，更加強調(diào)聯(lián)系整數(shù)四則計算的方法、探索相應(yīng)的小數(shù)計算方法
二、解決問題策略方面作了調(diào)整和變化，提高學(xué)生解決問題的能力。
三年級上冊增設(shè)了“從條件出發(fā)分析和解決問題”的策略。其中教材大幅度降低了例題習(xí)題的難度，突出了解決問題的步驟和方法，增設(shè)“從條件或問題出發(fā)分析思考”的策略，清楚地呈現(xiàn)解決問題的基本步驟：理解、分析、列式、回顧反思。四年級上冊解決問題策略主要編排特點：經(jīng)歷解決問題的過程，歸納了解決問題的一般步驟即理解題意、分析數(shù)量關(guān)系、列式解答、檢驗反思。或者列表整理條件和問題、從條件和問題出發(fā)分析數(shù)量關(guān)系、列式計算、檢驗反思。創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的問題情境，引發(fā)學(xué)生整理條件和問題的愿望，改變問題的呈現(xiàn)方式，經(jīng)歷把現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程。五年級上冊降低用列舉策略解決問題的難度，突出有序思考的意義和價值，不涉及分類列舉。
三、從三年級上冊開始逐冊安排“探索規(guī)律”專題活動。讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象、由特殊到一般的過程。但應(yīng)用規(guī)律不作要求沒有習(xí)題，不作為考試要求。三上安排了《間隔排列》，四上安排《簡單的周期》，五上安排《釘子板上的多邊形》，六上《表面涂色的正方體》。
四、其它調(diào)整和變化。
提前在三上安排“平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱”適當(dāng)降低教學(xué)要求，注重現(xiàn)象。
后移“24時計時法”“觀察物體”和“可能性”等內(nèi)容。
第二學(xué)段四年上冊可能性不要求用分數(shù)表示，只要學(xué)生定性把握可能性大小。
更加重視組合圖形和不規(guī)則圖形面積的計算。
用字母表示數(shù)從四下移至五上。
總之，教材的`重新修訂更加重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，重視學(xué)生的活動過程，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，重視提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。我們在平時的教學(xué)中，要根據(jù)新課程標準，用好新教材，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為以后社會生產(chǎn)和日常生活的廣泛的應(yīng)用提供保證，為今后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)6
為新學(xué)期能更好地使用新的課程標準(20xx年版)，尤其是一年級教師能更好地使用新教材，20xx年11月6日下午1:30，我們岸堤中心小學(xué)開展了新教材培訓(xùn)。
改版后的新教材在版面設(shè)計上更符合一年級孩子的年齡特征。本書變大了，書本里面的圖畫更加鮮艷更加生動了。新教材所設(shè)計的情境、插圖的內(nèi)容貼近學(xué)生生活，圖畫風(fēng)格和色彩符合學(xué)生的年齡特點，變枯燥無味的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為富有兒童情趣且具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)探索活動。新教材無論是在內(nèi)容的選擇還是在呈現(xiàn)方式上，都注入了新血液、新精神，圖文并茂、形象直觀、生動有趣、貼近學(xué)生生活，充滿了時代氣息。新教材在內(nèi)容上所做的調(diào)整，更是體現(xiàn)了以“學(xué)生發(fā)展為本”的理念。
新教材在內(nèi)容做了如下調(diào)整：
一、加強了知識的準備性。
一年級剛?cè)胄５?孩子要在角色上實現(xiàn)成功的轉(zhuǎn)換需要一個過渡時期，第一單元《準備課》刪除了比高矮、比長短等與數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)聯(lián)不大的內(nèi)容，調(diào)進了一年二期的《位置》，但刪除了左右的相對性，這樣的調(diào)整更貼近一年級學(xué)生的實際，讓學(xué)生能在數(shù)一數(shù)和說一說的過程中愉快的適應(yīng)一年級的新生活。
二、降低了知識的難度。
一年級的許多老師在教學(xué)實踐中都深有體會，有些知識過早的教授給孩子，他們很難理解和掌握，有時不得不強行灌輸，這給教學(xué)帶來了許多的困擾和難題。新教材在內(nèi)容的編排上更加科學(xué)合理，分散了平面圖形和立體圖形的編排，將認識平面圖形移至下冊，這樣就減少了平面圖形與立體圖形之間的互相干擾；將《認識鐘表》這一單元的認識半時移至二年級上冊，減少了半時對整時的干擾性，這樣的調(diào)整更加符合孩子的認知發(fā)展規(guī)律。新教材還加強了對知識的整理，在練習(xí)的設(shè)計上，注重前后知識的聯(lián)系，并注重對知識的滲透，填未知數(shù)不再作為一個獨立的內(nèi)容出現(xiàn)，而是以多種形式逐步滲透在練習(xí)中，讓學(xué)生更加容易接受這一知識難點。
三、注重對孩子解決實際問題能力的培養(yǎng)，突出了解決問題的一般方法與過程。
新教材提供鮮活生動的場景后，非常注意引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的方法。“你知道了什么？”——“怎樣解答？”——“解答正確嗎？”，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一個過程，不僅可以體會數(shù)學(xué)問題的提出，數(shù)學(xué)問題的解決，還讓學(xué)生在自我反思的過程中為教學(xué)評價提供了線索，更強化了老師與學(xué)生之間的互動。
新教材還增加了數(shù)學(xué)的背景知識，加強了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，豐富了孩子的數(shù)學(xué)視野，能更好的激發(fā)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望。
此次培訓(xùn)，老師們都有很深的體會和感悟。每個教師都有自己的教學(xué)風(fēng)格，但對教材的正確理解和深入鉆研是有效教學(xué)的第一步，因此，認真研讀新教材，領(lǐng)悟其中的精神和內(nèi)涵，才能更好的踐行新課程標準。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)7
通過培訓(xùn)我深深感受到了教育局領(lǐng)導(dǎo)對我們教師的關(guān)心，對我們教師的教學(xué)水平與個人綜合素質(zhì)的關(guān)注。本次學(xué)習(xí)不但澄清了我對一些數(shù)學(xué)題目的一些模糊熟悉，而且對我今后如何實踐新課改理念，實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的最優(yōu)化起到了很好的指導(dǎo)作用。現(xiàn)將自己的點滴體會總結(jié)以下：
一、對教材有了更加深入的整體熟悉。
人教版教材的整體特點是情境串引提題目串，讓學(xué)生在解決現(xiàn)實情境中題目的進程中引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，然后把學(xué)到的新知識又作為解決新題目的工具，讓學(xué)生把解決題目與知識學(xué)習(xí)融會在同一進程中。同時在情境圖的解讀進程中滲透對學(xué)生的思想教育和情感教育。固然每學(xué)期我們都對所教教材進行了解讀，但我們對教材的熟悉僅停留在本冊教材上，只是對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)重難點、教材處理等進行淺層次理解。
對其他年級各冊教材與本冊教材之間的關(guān)系，知識結(jié)構(gòu)，目標體系知之甚微。通過學(xué)習(xí)，對青島版教材有了新的熟悉，新的理解，每單元的知識基礎(chǔ)是甚么，在教材中的地位是什么，通過學(xué)習(xí)都已做到了心中有數(shù)。這樣為我在今后每單元的教學(xué)中，如何做好與前面知識的銜接，如何向后續(xù)知識延伸和拓展。起到了很好的'指導(dǎo)作用。
二、明確了每單元、每課教材的教學(xué)策略
1、每個單元的教學(xué)，要建立單元教學(xué)思想，捉住關(guān)鍵，突出重點。關(guān)注學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，弄清學(xué)生每個單元已學(xué)習(xí)了哪些知識，要學(xué)習(xí)哪些知識，為哪些后續(xù)知識做預(yù)備。
2、每課的教學(xué)要讀懂圖中故事和圖中信息，在讀懂信息的基礎(chǔ)上提出有價值的數(shù)學(xué)題目。并且一定要把題目寫在黑板上。在解決題目的進程中讓學(xué)生經(jīng)歷操縱觀察——形象感受——抽象概括等進程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。重視解題方法和解決題目策略的比較和提升。
教師要加大對學(xué)生的解決題目思惟方式的引領(lǐng)和指導(dǎo)力度，給學(xué)生留下自主探索的時間和空間，進一步拓寬學(xué)生解決題目的渠道，進步學(xué)生的解決題目的能力，進步學(xué)生的自主探索能力，進步學(xué)生的知識遷移學(xué)習(xí)能力，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。充分發(fā)揮教師的作用，幫助學(xué)生有效地展開探究活動，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實踐能力。重視自主練習(xí)的處理，對每道練習(xí)題目，不但要能正確解答，而且要更深層次的發(fā)掘練習(xí)的含義，有些新知識的學(xué)習(xí)就放在一些練習(xí)題目中。
本次教材培訓(xùn)對我們而言，是一次寶貴的學(xué)習(xí)機會，令我收獲頗豐，使我對教材又有了一個新的熟悉。新教材不但關(guān)注基礎(chǔ)知識和基本技能，還關(guān)注學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗;新教材不但關(guān)注了學(xué)生分析題目、解決題目的能力，還關(guān)注了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)題目和提出題目的能力，為我們以后的教學(xué)工作指明的方向。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)8
參加對教材培訓(xùn)的學(xué)習(xí)，使我對新課標的要求有了新的認識和體會，感受到教材的編寫無論是從內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，還是頁面的設(shè)置上都重視兒童已有的經(jīng)驗和興趣特點，提供豐富的與兒童生活背景有關(guān)的素材，這些正是激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，新教材無論教學(xué)內(nèi)容安排還是呈現(xiàn)形式，處處都是以學(xué)生為中心，以重視和培養(yǎng)學(xué)生的能力為目的。下面就是自己學(xué)習(xí)之后的一些膚淺的.認識和體會：
一、理解新課程的基本理念，改變教學(xué)方法。
新課程標準的基本理念之一是“實現(xiàn)人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。理念之二是“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)貼近學(xué)生的生活，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動”。基本理念之三是“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”。教師要深入、全面地學(xué)習(xí)課程標準，理解課程標準的精神實質(zhì)，掌握課程標準的思想內(nèi)涵，通曉課程標準的整體要求，才能目的明確、方向集中地鉆研教材，具體、準確地把握教材的重點、難點，創(chuàng)造性地設(shè)計教學(xué)過程，從而得心應(yīng)手地駕弩教材，靈活自如地選擇教法。
二、適當(dāng)調(diào)整知識結(jié)構(gòu)，提供清晰的線索和步驟。
新教材根據(jù)教材實驗結(jié)果和教師們的普遍意見對教學(xué)內(nèi)容進行了調(diào)整。如統(tǒng)計與概率等內(nèi)容適當(dāng)降低難度，第一學(xué)段統(tǒng)計與概率部分內(nèi)容大幅減少，部分內(nèi)容移到第二學(xué)段。如一年級上冊“時間”這一單元，將原來的“教學(xué)整時和半時”改為只教學(xué)“整時”。再如教材系統(tǒng)處理了“解決問題”，為實現(xiàn)“解決問題”的課程目標提供教學(xué)思路、發(fā)展線索和可操作的案例；針對在實驗教材使用過程中，廣大教師、教研員提出的不適用的教學(xué)素材；例題設(shè)置中的一些不合適的呈現(xiàn)方式；練習(xí)題編制中的有難度或效率低的題目；等等，進行細致地修改。循序漸進的提供解決問題的一般步驟，教給學(xué)生解決問題的基本方法。因而此次課改通過教材修訂研究和精心制作工作，形成了一套文字表述準確，易懂、可讀性強，版面設(shè)計清爽美觀，圖文并茂配合恰當(dāng)，裝幀精美，教師能準確把握教材編寫意圖的教材。
總之，面對新課程改革的挑戰(zhàn)，我們必須多動腦筋，多想辦法，密切數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，使學(xué)生從生活經(jīng)驗和客觀事實出發(fā)，在研究現(xiàn)實問題的過程中用數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和發(fā)展數(shù)學(xué)，讓學(xué)生享受“數(shù)學(xué)學(xué)科的快樂”且快樂地學(xué)數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)9
20xx年xx月xx日，我校組織了全體數(shù)學(xué)教師參加小學(xué)數(shù)學(xué)新教材網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，對數(shù)學(xué)全體教師進行小學(xué)數(shù)學(xué)新教材網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)學(xué)習(xí)，不僅使我們對新教材的新理念有了更深一層的理解，讓我們感受到新課程洋溢著時代的氣息，體現(xiàn)著素質(zhì)教育的理念，越來越感受到這次課改絕對不僅僅是改變一下教材而已，而是學(xué)生學(xué)習(xí)方式的徹底改革，更是我們教師教學(xué)方法上的重大改革。通過這次培訓(xùn)活動，得出以下總結(jié)：
1、新課程把學(xué)生的全面發(fā)展放在首位，這是全新的理念。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中建構(gòu)適應(yīng)自己的一種學(xué)習(xí)方法，即從"學(xué)會"到"會學(xué)"的轉(zhuǎn)變，認真學(xué)習(xí)新課標，深入領(lǐng)會《數(shù)學(xué)課程標準》的精神實質(zhì)，切實轉(zhuǎn)變觀念，克服以往在教學(xué)中忽視學(xué)生的主體地位、忽視人文精神和科學(xué)精神的培養(yǎng)、過分追求學(xué)科知識系統(tǒng)的錯誤傾向，真正確立教育的新理念，通過教學(xué)任務(wù)的完成，全面提高學(xué)生的整體素養(yǎng)。
2、新課程加強數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題解決。重視數(shù)學(xué)教學(xué)中的"問題解決"是各國教學(xué)大綱中的一個顯著特點。解題策略不是一個獨立的課題，而是一個發(fā)現(xiàn)的過程，探索的過程，創(chuàng)新的過程，使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)在其周圍世界中的作用，其主要教學(xué)目標是引導(dǎo)兒童發(fā)展和應(yīng)用解決問題的'策略，要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過解決問題的探討，
去調(diào)查和理解教學(xué)內(nèi)容，從日常生活的教學(xué)情境中提出問題；發(fā)展和應(yīng)用策略去解決廣泛的各種各樣的問題，在有意義地運用數(shù)學(xué)中獲得自信。
3、新課程強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用。新課程的應(yīng)用意識主要表現(xiàn)在：認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用，面對實際問題時，能主要嘗試從數(shù)學(xué)角度運用數(shù)學(xué)知識和方法尋求、解決問題的策略；面對新的數(shù)學(xué)知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應(yīng)用價值。新課程從一年級開始就將數(shù)學(xué)知識和應(yīng)用相結(jié)合，作為培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的一個重要途徑。
4、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要盡可能營造一種公平的教學(xué)環(huán)境，使不同層次的每個學(xué)生都能以平等的身份受到平等的教育，要讓每個學(xué)生都得到發(fā)展;對每一個學(xué)生的理解、信任、期待和熱愛。成功的教學(xué)不是學(xué)生都沒有缺點，都不犯錯誤，而是我們?nèi)绾稳タ创龑W(xué)生所謂的缺點錯誤，如果能把它看成是“尚未成為的優(yōu)點”的話，那么我們就會以深厚的愛心、坦蕩的襟懷、規(guī)范的言行、無私的奉獻、高度的責(zé)任感去期待、幫助學(xué)生成長，既要把學(xué)生看作是認知體，更要把他們看作是生命體，教學(xué)過程應(yīng)伴隨著師生愉悅的情緒，讓學(xué)生更多地在學(xué)習(xí)過程中獲得快樂，而不是在結(jié)果中獲得快樂;學(xué)習(xí)是兒童的天生愿望，學(xué)生如果有一個愉快的心情，接受新思想新知識的能力會大大提高，對環(huán)境的適應(yīng)能力也會增強。因此在教學(xué)中，我們要根據(jù)教材內(nèi)容和教學(xué)要求，創(chuàng)設(shè)快樂情境，讓學(xué)生在愉快的情境中學(xué)習(xí)，愉快地獲取知識。
學(xué)習(xí)培訓(xùn)完新教材，大家懂得了新教材的設(shè)置特點和內(nèi)容，明確了今后工作的目標和方向，深刻地體會到學(xué)習(xí)的重要性。只有不斷的學(xué)習(xí)，不斷加強修養(yǎng)才能提升自己的教學(xué)能力。也只有真正讀懂學(xué)生、讀懂教材、讀懂課堂，才能為孩子們奉獻出既 “好吃”又 “有營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)。
XX小學(xué)教導(dǎo)處
20xx年xx月xx日
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