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考研之考研函數(shù)問題
經(jīng)常有同學(xué)捧著某些考研輔導(dǎo)書來問間斷函數(shù)是否有原函數(shù)這樣類似的問題。
我的回答是"可積函數(shù)的原函數(shù)為什么一定是個(gè)連續(xù)函數(shù)？"是個(gè)偽命題，我的回答，首先是這個(gè)問題的前提錯(cuò)了："可積函數(shù)并不一定有原函數(shù)"。所以根本不可能有"可積函數(shù)的原函數(shù)一定是個(gè)連續(xù)函數(shù)"這樣的結(jié)論，這是某些考研輔導(dǎo)專家是在嚴(yán)重誤導(dǎo)。
函數(shù)"可積"并不是有"原函數(shù)"的充分條件，只有函數(shù)"連續(xù)"才是有"原函數(shù)"的充分條件（并不是必要條件）。所以說函數(shù)"連續(xù)"并不是有"原函數(shù)"的必要條件，因?yàn)榇_實(shí)可以舉出"不連續(xù)的函數(shù)也是可能會(huì)有原函數(shù)"的經(jīng)典反例的（見附注），但這已經(jīng)有點(diǎn)偏離考綱了。
原函數(shù)的概念與導(dǎo)函數(shù)的概念是"互逆"的"伴隨概念"，根據(jù)達(dá)布定理"可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)只可能有振蕩間斷點(diǎn)"的結(jié)論，可支持我的觀點(diǎn)"可積函數(shù)并不一定有原函數(shù)"。
歸根結(jié)底，是因?yàn)榭煞e函數(shù)可能有第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)或跳躍間斷點(diǎn)），這是就必定沒有原函數(shù)。
"可積"的概念是對(duì)有限區(qū)間上的"定積分"而言的，沒有"可積函數(shù)的''不‘定積分"問題，一般考研輔導(dǎo)書上的關(guān)于"對(duì)于分段函數(shù)，每一段（不定）積分后，都有個(gè)常數(shù)，那最后積分結(jié)果的常數(shù)怎么確定？"也是一個(gè)偽問題。
因?yàn)檫@要看這個(gè)函數(shù)（總體）是不是連續(xù)？
即使分段連續(xù)，如果總體不連續(xù)（實(shí)際上就是分段點(diǎn)處不連續(xù)），那么就談不上原函數(shù)和不定積分，也更談不上常數(shù)應(yīng)該如何確定了。
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